Kiedyś słyszałem, że ZBIÓR to pojęcie pierwotne, którego nie definiujemy
I wtedy dobrze słyszałeś.
Obawiam się, że kolega musiał to słyszeć dosyć dawno, bo pierwsze próby definicji pojęcia zbiór to koniec XIX wieku (aksjomaty Peano), natomiast prawdziwa definicja pojawia się na początku XX wieku - dzięki paradoksom Russella powstaje aksjomatyczna definicja zbioru Zermelo-Fraenkela.
[...]definicji, że zbiorem jest ogół elementów mających pewne cechy wspólne[..]
Rozumiem, że taką definicję to można usłyszeć na języku polskim w gimnazjum.
Czy ogół elementów, które mają taką cechę wspólną, że są zbiorem, jest zbiorem?
Jedyną rzeczą, której się nie obecnie nie definiuje, jest pojęcia należenia do zbioru.
Zbiór nie zawierający elementów teoretycznie jest dość prostą sprawą, ale w świetle definicji, że zbiorem jest ogół elementów mających pewne cechy wspólne, ciężko jest nawet wyobrazić sobie zbiór jednoelementowy
Pomijając światło definicji, wystarczy wziąć dowolny zbiór (jakiś tam pewnie istnieje) i wybrać z niego wszystkie elementy które spełniają dwa warunki: są czerwone i nie są czerwone. Ewentualnie najpierw wybrać czerwone, a później spośród nich te, które czerwone nie są. Zbiór pusty jak znalazł.